Question

15．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a＜0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[0，1]，函數(shù)g（x）=x³+x²[f′（x）+m]在區(qū)間（t，2）上總不是單調(diào)函數(shù)，其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)，利用零點存在定理判定g′（x）在（t，2）上總存在零點計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意知，f′（x）=$\frac{a（1-x）}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0得：x=1，
∴當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）、f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]；
（2）∵函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，
∴f′（2）=-$\frac{a}{2}$=1，即a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）=x³+（m+2）x²-2xm，
∴g′（x）=3x²+（2m+4）x-2，
∵g（x）在區(qū)間（t，2）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（t）＜0}\\{g′（2）＞0}\end{array}\right.$，
由題意知：對于任意的t∈[0，1]，g′（t）＜0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g′（0）＜0}\\{g′（1）＜0}\\{g′（2）＞0}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{9}{2}$＜m＜-$\frac{5}{2}$．

點評 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及與函數(shù)有關(guān)的綜合題，都體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的重要性；此類問題往往從求導(dǎo)入手，思路清晰；但綜合性較強，需學(xué)生有較高的邏輯思維和運算能力．