Question

8．已知函數f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）對任意的x∈[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出h（x）的導數，通過討論a的范圍，結合函數的單調性確定a的具體范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，
設g（x）=f′（x），g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，g（x）_min=g（1）=2，
∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間．
（Ⅱ）設h（x）=（x+1）lnx-ax+a，
由（Ⅰ）知：h′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a=g（x）-a，
g（x）在（1，+∞）遞增，∴g（x）≥g（1）=2，
（1）當a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（1）=0，滿足題意．
（2）當a＞2時，設ω（x）=h′（x），ω′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
當x≥1時，ω′（x）≥0，∴ω（x）在[1，+∞）遞增，
ω（1）=2-a＜0，ω（e^a）=1+e^-a＞0，
∴?x₀∈（1，e^a），使ω（x₀）=0，∵ω（x）在[1，+∞）遞增，
∴x∈（1，x₀），ω（x）＜0，即h′（x）＜0，
∴當x∈（1，x₀時，h（x）＜h（1）=0，不滿足題意．
綜上，a的取值范圍為（-∞，2]．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，考查分類討論思想，是一道綜合題．