Question

3．已知f（x）=e^x-xe^x-1，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：函數(shù)g（x）有最大值g（x₀），且-2＜x₀＜-1．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=-xe^x，令f′（x）=0，得x=0，列表可得其單調(diào)性與極值；
（II））由$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，可得由（I）知，x∈（-∞，0）時(shí)，g（x）＞0；x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＜0．因此我們研究g（x）在x∈（-∞，0）時(shí)的最大值即可，
$g（x）=\frac{{{e^x}-x{e^x}-1}}{x}$，可得g′（x）=$\frac{-（{x}^{2}-x+1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，設(shè)h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，利用導(dǎo)數(shù)與其單調(diào)性與零點(diǎn)即可得出．

解答 解：（I）f′（x）=-xe^x，令f′（x）=0，得x=0，列表

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值f（0）=0，沒(méi)有極小值；
（II）∵$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，∴由（I）知，x∈（-∞，0）時(shí)，g（x）＞0；x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＜0．
因此我們研究g（x）在x∈（-∞，0）時(shí)的最大值即可，
$g（x）=\frac{{{e^x}-x{e^x}-1}}{x}$，
g′（x）=$\frac{-（{x}^{2}-x+1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，
則h′（x）=-x（x+1）e^x，
∵當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，h′（x）＜0；x∈（-1，0）時(shí)，h′（x）＞0．
∴h（x）在x∈（-∞，-1）時(shí)，單調(diào)遞減；x∈（-1，0）時(shí)，單調(diào)遞增．
∵h(yuǎn)（-2）=$\frac{{e}^{2}-7}{{e}^{2}}$＞0，h（-1）=$\frac{e-3}{e}$＜0，h（0）=0，
∴h（x）在x∈（-∞，0）上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為x₀，則x₀∈（-2，-1），
∴當(dāng)x∈（-∞，x₀）時(shí)，g′（x）=$\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＞0，當(dāng)x∈（x₀，0）時(shí)，${g}^{′}（x）=\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）有最大值g（x₀），且-2＜x₀＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、函數(shù)零點(diǎn)存在但是不容易解出時(shí)問(wèn)題的解決方法，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力，屬于難題．