Question

6．求通項(xiàng)公式：
（1）在數(shù)列{a_n}中，若a₁=2，a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$），則a_n=2+lnn；
（2）在數(shù)列{a_n}中，若a₁=5，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹-1，則a_n=（n+1）•2ⁿ+1；
（3）若a_n=2a_n+4ⁿ+2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（4）a₁=1，（n+1）a${\;}_{n+1}^{2}$-na${\;}_{n}^{2}$+a_n+1a_n=0（n∈N^*且a_n＞0），求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；
（5）a₁=1，na_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2，n∈N^*），求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；
（6）a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{-7{a}_{n}-6}$，求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；
（7）a₁=1，若a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$+2a_n，求數(shù)列的通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知可得a_n-a_n-1=lnn-ln（n-1），迭加可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）由已知得a_n+1-1=2（a_n-1）+2ⁿ⁺¹，從而{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n．
故答案為：（n+1）•2ⁿ+1．
（3）把a(bǔ)_n=2a_n+4ⁿ+2，變形能求出a_n．
（4）由已知推導(dǎo)出（n+1）a_n+1=na_n，從而$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，由此利用累乘法能求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（5）由na_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1（n≥2），得（n-1）a_n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-2）a_n-2（n≥3）．兩式相減，得到$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2×$\frac{n-1}{n}$（n≥3）．由此利用累乘法能求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（6）由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=-6（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），$\frac{1}{{a}_{1}}+1$=2，從而{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是首項(xiàng)為2，公比為-6的等比數(shù)列，由此能求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（7）由已知${a}_{n+1}+1=（{a}_{n}+1）^{2}$，設(shè)b_n=a_n+1，則$_{n+1}={_{n}}^{2}$，由此能求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵a_n+1=a_n+ln（1+$\frac{1}{n}$），
∴a_n+1-a_n=ln（n+1）-lnn，
∴a_n-a_n-1=lnn-ln（n-1），
a_n-1-a_n-2=ln（n-1）-ln（n-2），
…
a₃-a₂=ln3-ln2，
a₂-a₁=ln2-ln0，
迭加得：a_n-a₁=lnn，
即a_n=a₁+lnn=2+lnn，
故答案為：2+lnn．
（2）∵a₁=5，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1）+2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=1，$\frac{{a}_{1}-1}{2}$=2，
∴{$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=（n+1）•2ⁿ+1．
故答案為：（n+1）•2ⁿ+1．
（3）∵a_n=2a_n+4ⁿ+2，
∴a_n=-4ⁿ-2．
（4）a₁=1，（n+1）a${\;}_{n+1}^{2}$-na${\;}_{n}^{2}$+a_n+1a_n=0（n∈N^*且a_n＞0）；
∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，
∴（n+1）a_n+1=na_n或a_n+1+a_n=0，
∵{a_n}是首項(xiàng)為1的正數(shù)項(xiàng)數(shù)列，
∴（n+1）a_n+1=na_n，
∴a_n+1=$\frac{n}{n+1}$a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}}{1}$=a_n=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$×…×$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$（n∈N^*）
故這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*）．
（5）∵na_n=a₁+2a₂+…+（n-1）a_n-1（n≥2），
∴（n-1）a_n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-2）a_n-2（n≥3）．
兩式兩邊分別相減，
得na_n-（n-1）a_n-1=（n-1）a_n-1（n≥3），
即na_n=2（n-1）a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2×$\frac{n-1}{n}$（n≥3）．
又a₂=$\frac{1}{2}$，故a_n=a₁×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2^n-1×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×…×$\frac{n-1}{n}$=$\frac{{2}^{n-1}}{n}$．
（6）∵a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{-7{a}_{n}-6}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=-6（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），$\frac{1}{{a}_{1}}+1$=2，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}是首項(xiàng)為2，公比為-6的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}+1$=2×（-6）^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2×（-6）^{n-1}-1}$．
（7）∵a₁=1，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$+2a_n，
∴${a}_{n+1}+1=（{a}_{n}+1）^{2}$，
設(shè)b_n=a_n+1，∴$_{n+1}={_{n}}^{2}$，
∵b₁=a₁+1=2，
$_{2}={2}^{2}$，$_{3}={2}^{4}$，$_{4}={2}^{8}$，…
∴b_n=${2}^{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}={2}^{{2}^{n-1}}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，熟練掌握迭加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的適用范圍和步驟，是解答的關(guān)鍵．本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．