Question

8．設a≥1，f（x）=x|x-a|$+\frac{3}{2}$，若f（x）≥a對任意x∈[1，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 設g（x）=x|x-a|，由題意可以得到g（x）_min≥a-$\frac{3}{2}$，分1≤a≤2或a＞2，討論即可求出a的取值范圍．

解答 解：∵x|x-a|$+\frac{3}{2}$≥a對任意x∈[1，2]恒成立，
即x|x-a|≥a-$\frac{3}{2}$恒成立，
設g（x）=x|x-a|，在x∈[1，2]恒成立有g（x）≥a-$\frac{3}{2}$，
∴g（x）_min=a-$\frac{3}{2}$，
當1≤a≤2時，g（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-a），a≤x＜2}\\{x（a-x），1≤x＜a}\end{array}\right.$
故g（x）在[1，2]上的最小值為g（a）=0，
即0≥a-$\frac{3}{2}$，解得1≤a≤$\frac{3}{2}$，
當a＞2時，g（x）=x（a-x），g（x）在x∈[1，2]恒成立有
g（x）≥a-$\frac{3}{2}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥a-\frac{3}{2}}\\{g（2）≥a-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥a-\frac{3}{2}}\\{2（a-2）≥a-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得a≥$\frac{5}{2}$
綜上所述a的取值范圍為[1，$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．

點評 本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查函數(shù)恒成立問題，突出考查轉化思想與分類討論思想、方程思想的綜合應用應用，考查邏輯思維能力與運算能力，屬于難題．