Question

11．底面為正六邊形的六棱錐P-ABCDE，$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{PH}$=$\overrightarrow{HC}$，記三棱錐G-PAH的體積為V₁，三棱錐H-PAE的體積為V₂，則V₁：V₂是$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)PA與底面垂直，PA=a，底面邊長為1，根據(jù)G，H的位置和正六邊形的性質(zhì)求出V₁和V₂，

解答 解：不妨設(shè)PA與底面垂直，PA=a，底面邊長為1，連結(jié)AC，AE，過B作BM⊥AC，過C作CN⊥AE，垂足分別是M，N．
則AC=AE=$\sqrt{3}$，BM=$\frac{1}{2}$，CN=$\frac{3}{2}$．
∵$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{PH}$=$\overrightarrow{HC}$，∴H到PA的距離為$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，G到平面PAH的距離為$\frac{1}{3}$BM=$\frac{1}{6}$．H到平面PAE的距離為$\frac{1}{2}CN$=$\frac{3}{4}$．
∴V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{6}$=$\frac{\sqrt{3}a}{72}$，V₂=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}a×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}a}{8}$．∴V₁：V₂=$\frac{1}{9}$．
故答案為$\frac{1}{9}$．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征和體積計算，屬于中檔題．