Question

7．$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow$=（sinx，sinx），$\overrightarrow{c}$=（-1，0）
（1）若x=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角θ；
（2）若x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值為$\frac{1}{2}$，求λ．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)可得$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（-1，0），由夾角公式可得；
（2）可得f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$λsin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$λ，由x的范圍易得sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，分類(lèi)討論可得．

解答 解：（1）當(dāng)x=$\frac{π}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（-1，0），
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角θ滿(mǎn)足cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角θ=$\frac{2π}{3}$；
（2）f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=λ（sin²x+sinxcosx）
=λ（$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$λsin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$λ，
∵x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-π，$\frac{π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
當(dāng)λ＞0時(shí)，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$λ=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)λ＜0時(shí)，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ•（-1）+$\frac{1}{2}$λ=$\frac{1}{2}$，解得λ=-$\sqrt{2}$-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及向量的夾角和數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．