Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線

2

x+y+

3

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知圓M：x²+y²=

2

3

的切線l與橢圓相交于A、B兩點，求證：以AB為直徑的圓過原點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

c a = 2 2 b= 3 2+1 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)圓M：x²+y²=

2

3

的切線l為mx+ny=

2

3

，其中m²+n²=

2

3

，代入橢圓方程整理得（2m²+n²）x²-

8

3

mx+

8

9

-2n²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y 2 ），利用韋達定理結(jié)合已知條件條件出x₁x₂+y₁y₂=0，由此證明以AB為直徑的圓過原點．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，
以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線

2

x+y+

3

=0相切，
∴

c a = 2 2 b= 3 2+1 =1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1，c=1．
∴橢圓C的方程

x2

2

+y2=1．①
（Ⅱ）證明：設(shè)圓M：x²+y²=

2

3

的切線l為mx+ny=

2

3

，其中m²+n²=

2

3

，②，
把l：mx+ny=

2

3

，即y=

2 3 -mx

n

，③代入①，得
n²x²+2（

2

3

-mx）²=2n²，
整理得（2m²+n²）x²-

8

3

mx+

8

9

-2n²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y 2 ），則x₁+x₂=

8 3 m

2m2+n2

，x₁x₂=

8 9 -2n2

2m2+n2

，
由③得y₁•y₂=

2 3 -mx1

n

•

2 3 -mx2

n

=

9 4 (2m2+n2)- 16 9 m2+( 8 9 -2n2)m2

n2(2m2+n2)

=

4 9 -2m2

2m2+n2

，
由②得，x₁x₂+y₁y₂=

4 3 -2m2-2n2

2m2+n2

=0，
∴以AB為直徑的圓過原點．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查圓過原點的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．