Question

17．己知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若方程f（x）=g（x）有兩個(gè)不同的解，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a＞0，記F（x）=g（x）f（x），試求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]的最大值．

Answer 1

分析 （1）分三種情況加以討論：當(dāng)a＞0時(shí)，將方程f（x）=g（x）兩邊平方，得方程（x-a）²-a²x²=0在（0，+∞）上有兩解，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=（a²-1）x²+2ax-a²，通過討論h（x）圖象的對(duì)稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得0＜a＜-1；當(dāng)a＜0時(shí)，用同樣的方法得到-1＜a＜0；而當(dāng)a=0時(shí)代入函數(shù)表達(dá)式，顯然不合題意，舍去．最后綜合實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x-a|，根據(jù)實(shí)數(shù)a與區(qū)間[1，2]的位置關(guān)系，分4種情況加以討論：
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，再討論：當(dāng)1＜a＜$\frac{5}{3}$時(shí)；當(dāng)$\frac{5}{3}$≤a≤2時(shí)，y=F（x）的最大值為F（1）=a²-a；③當(dāng)2＜a≤4時(shí)，F(xiàn)（x）=-a（x²-ax），④當(dāng)a＞4時(shí)，F(xiàn)（x）=-a（x²-ax），運(yùn)用單調(diào)性求得最大值，
最后綜上所述，可得函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值的結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，|x-a|-ax=0有兩解，
等價(jià)于方程（x-a）²-a²x²=0在（0，+∞）上有兩解，
即（a²-1）x²+2ax-a²=0在（0，+∞）上有兩解，
令h（x）=（a²-1）x²+2ax-a²，
因?yàn)閔（0）=-a²＜0，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1＜0}\\{\frac{a}{1-{a}^{2}}＞0}\\{△=4{a}^{2}+4{a}^{2}（{a}^{2}-1）＞0}\end{array}\right.$，
故0＜a＜1；
同理，當(dāng)a＜0時(shí)，得到-1＜a＜0；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x|=0=g（x），顯然不合題意，舍去．
綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）；
（3）令F（x）=f（x）•g（x），
①當(dāng)0＜a≤1時(shí)，則F（x）=a（x²-ax），
對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$，函數(shù)在[1，2]上是增函數(shù)，
所以此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為4a-2a²．
②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，F(xiàn)（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-a（{x}^{2}-ax），1＜x≤a}\\{a（{x}^{2}-ax），a＜x≤2}\end{array}\right.$，對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$，
所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，在[a，2]上是增函數(shù)，
F（1）=a²-a，F(xiàn)（2）=4a-2a²，
1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜$\frac{5}{3}$，此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為4a-2a²；
2）若F（1）≥F（2），即$\frac{5}{3}$≤a≤2，此時(shí)函數(shù)y=F（x）的最大值為a²-a．
③當(dāng)2＜a≤4時(shí)，F(xiàn)（x）=-a（x²-ax）對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$，
此時(shí)F_max（x）=F（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{3}}{4}$，
④當(dāng)a＞4時(shí)，對(duì)稱軸x=$\frac{a}{2}$∈（2，+∞），此時(shí)F（x）_max=F（2）=2a²-4a；
綜上可知，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值
F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4a-2{a}^{2}，0＜a＜\frac{5}{3}}\\{{a}^{2}-a，\frac{5}{3}≤a≤2}\\{\frac{{a}^{3}}{4}，2＜a≤4}\\{2{a}^{2}-4a，a＞4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題借助于含有字母參數(shù)的一次函數(shù)和含有絕對(duì)值的函數(shù)，通過討論它們的奇偶性和單調(diào)性，以及討論含有參數(shù)的方程根的個(gè)數(shù)，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性的奇偶性、函數(shù)的零點(diǎn)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于難題．請(qǐng)同學(xué)們注意分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想在解決本題中所起的作用．