Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知利用遞推公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$可得a_n，代入分別可求數(shù)列b_n的首項b₁，公比q，從而可求b_n；
（2）由（1）可得c_n=（2n-1）•4^n-1，利用乘“公比”錯位相減求和．

解答 解：（1）：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
故{a_n}的通項公式為a_n=2n-1，即{a_n}是a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列．
設(shè){b_n}的公比為q，則b₁qd=b₁，d=2，
∴q=$\frac{1}{2}$．
故b_n=b₁q^n-1=1×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即{b_n}的通項公式為b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
即T_n=1+3×$\frac{1}{2}$+5×$\frac{1}{4}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{4}$+5×$\frac{1}{8}$+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減得，$\frac{1}{2}$T_n=1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1）-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=3-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
∴T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

點評 當(dāng)已知條件中含有s_n時，一般會用結(jié)論a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，來求通項，注意求和的方法的選擇主要是通項，本題所要求和的數(shù)列適合乘“公比”錯位相減的方法，此法是求和中的重點，也是難點．