Question

14．一個袋中裝有10個大小相同的黑球，白球和紅球．已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是$\frac{7}{9}$．從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為ξ，則隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)白球的個數(shù)為x，則紅球和黑球的個數(shù)為10-x，記兩個都不是白球的事件為A，
則至少有一個白球的事件與事件A為對立事件，由此求出白球的個數(shù)；
得出ξ的取值可能為0，1，2，3，求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：設(shè)白球的個數(shù)為x，則黑球和紅球的個數(shù)為10-x；
記兩個都不是白球的事件為A，則至少有一個白球的事件與事件A為對立事件；
所以p（A）=1-$\frac{7}{9}$=$\frac{2}{9}$=$\frac{{C}_{10-x}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$，解得x=5，
所以白球的個數(shù)為5；
從袋中任意摸出3個球，到白球的個數(shù)ξ的取值可能為：0，1，2，3；
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{•C}_{5}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{•C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{•C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{12}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}{•C}_{5}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{12}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{12}$

ξ所以的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×$\frac{1}{12}$+1×$\frac{5}{12}$+2×$\frac{5}{12}$+3×$\frac{1}{12}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是基礎(chǔ)題．