Question

9．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱BC、DD₁的中點(diǎn)．
（1）若平面AFB₁與平面BCC₁B₁的交線(xiàn)為l，l與底面AC的交點(diǎn)為點(diǎn)G，試求AG的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)A到平面B₁EF的距離．

Answer 1

分析 （1）過(guò)B₁作FA的平行線(xiàn)交面ABCD于G，連接AG，在Rt△ABG中求得AG的長(zhǎng)；
（2）分別以DA、DC、DD₁所在直線(xiàn)為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面B₁EF的一個(gè)法向量，利用向量法求得點(diǎn)A到平面B₁EF的距離．

解答 解：（1）如圖，

延長(zhǎng)CB到G，使BG=2BC，連接B₁G，則B₁G所在直線(xiàn)為平面AFB₁與平面BCC₁B₁的交線(xiàn)，
連接AG，在Rt△ABG中，AB=1，BG=2，則AG²=AB²+BG²=5，
∴AG=$\sqrt{5}$；
（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），${B}_{1}（1，1，1），E（\frac{1}{2}，1，0），F(xiàn)（0，0，\frac{1}{2}）$，
$\overrightarrow{{B}_{1}E}=（-\frac{1}{2}，0，-1），\overrightarrow{{B}_{1}F}=（-1，-1，-\frac{1}{2}）$，
設(shè)平面B₁EF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{B}_{1}E}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{{B}_{1}F}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x-z=0}\\{-x-y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得y=-$\frac{3}{2}$，z=-1，
∴$\overrightarrow{n}=（2，-\frac{3}{2}，-1）$．
又$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），
∴點(diǎn)A到平面B₁EF的距離d=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-\frac{3}{2}-1|}{\sqrt{{2}^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{29}}{29}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中的點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用向量法求點(diǎn)到面的距離，是中檔題．