Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）計算：函數(shù)y=f（x）的零點；
（2）證明：函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）解方程x³-3x=0便可得出y=f（x）的零點；
（2）根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂≥1，然后作差，分解因式，提取公因式x₁-x₂，從而證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．

解答 解：（1）解x³-3x=0得，x=0，$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$；
∴y=f（x）的零點為0，$-\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$；
（2）證明：設(shè)x₁＞x₂≥1，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{3}-3{x}_{1}-{{x}_{2}}^{3}+3{x}_{2}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-3）$；
∵x₁＞x₂≥1；
∴x₁-x₂＞0，${{x}_{1}}^{2}＞1，{x}_{1}{x}_{2}＞1，{{x}_{2}}^{2}≥1$，${{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-3＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．

點評 考查函數(shù)零點的概念及求法，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后一般要提取公因式x₁-x₂，立方差公式的運用．