Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-e^x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調性并給予證明；
（2）若g（x）=f（x）ln（x+1）+e^x，證明：對?x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂，都有|g（x₁）-g（x₂）|＞$\frac{5}{2}$|x₁-x₂|．

Answer 1

分析 （1）先作出f（x）為單調遞減的結論，再分類討論證明；
（2）先對g（x）求導，再構造函數(shù)F（x）=g（x）-$\frac{5}{2}$x，運用函數(shù)的單調性證明不等式．

解答 解：（1）f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，分析如下：
∵f'（x）=2x-e^x，分兩類討論，
當x≤0時，f'（x）＜0恒成立，f（x）單調遞增，
下面證明，當x＞0時，f'（x）＜0也恒成立，過程如下：
構造函數(shù)g（x）=e^x-ex，x∈（0，+∞），
令g'（x）=e^x-e=0解得x=1，所以，
當x∈（-∞，1）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，
當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）遞增，
所以，g（x）_min=g（1）=0，因此，e^x-ex≥0恒成立，
故當x≥0時，e^x≥ex＞2x，所以f'（x）＜0恒成立，
綜合以上分析，f（x）為R上的減函數(shù)；
（2）∵g'（x）=2x-e^x+$\frac{1}{x+1}$+e^x=2x+$\frac{1}{x+1}$，
∴當x＞1時，g'（x）＞$\frac{5}{2}$，
要證原命題，只需構造函數(shù)F（x）=g（x）-$\frac{5}{2}$x，
顯然，F(xiàn)'（x）=g'（x）-$\frac{5}{2}$＞0恒成立，
即F（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增，
不妨設x₁＞x₂，則F（x₁）-F（x₂）＞0，
即g（x₁）-$\frac{5}{2}$x₁＞g（x₂）-$\frac{5}{2}$x₂，
所以，g（x₁）-g（x₂）＞$\frac{5}{2}$（x₁-x₂），
因此，|g（x₁）-g（x₂）|＞$\frac{5}{2}$|x₁-x₂|．

點評 本題主要考了導數(shù)在判斷函數(shù)單調性中的應用，涉及構造函數(shù)并運用函數(shù)的單調性證明不等式，屬于中檔題．