Question

4．已知直線L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）當α=$\frac{π}{4}$時，求直線L與圓C交點的中點坐標；
（2）證明：直線L與圓C相交，并求最短弦的長度．

Answer 1

分析 （1）先求出當α=$\frac{π}{4}$，直線L為：y=x-1，圓C：x²+y²=4，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²-2x-3=0，利用韋達定理能求出直線L與圓C交點的中點坐標為（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）．
（2）直線L過定點P（1，0），圓C是圓心C（0，0），半徑r=2的圓，由|PC|=1＜2=r，能證明直線L與圓C相交．當相交弦與PC垂直時，相交弦最短．

解答 解：（1）∵直線L：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴$\frac{y}{x-1}$=tanα，
當α=$\frac{π}{4}$，直線L為：y=x-1，
∵圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），∴x²+y²=4，
∴圓C是圓心C（0，0），半徑r=2的圓，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²-2x-3=0，
直線L與圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=1，y₁+y₂=（x₁-1）+（x₂-1）=1-2=-1，
∴直線L與圓C交點的中點坐標為（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）．
證明：（2）∵直線L：$\frac{y}{x-1}$=tanα，∴直線L過定點P（1，0），
∵圓C是圓心C（0，0），半徑r=2的圓，
∴|PC|=1，∵|PC|=1＜2=r，
∴直線L與圓C相交．
當相交弦與PC垂直時，相交弦最短，
∴最短弦的長度d_min=2$\sqrt{{r}^{2}-|PC{|}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與圓相交弦中點坐標的求法，考查直線與圓垂直的證明，考查相交弦最短時其長度的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式的合理運用．