Question

12．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線L的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線L的普通方程
（2）設(shè)曲線C與直線L相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)t能求出直線L的普通方程．
（2）曲線C是以C（2，0）為圓心、以2為半徑的圓，先求出圓心C（2，0）到直線L：x-$\sqrt{3}y$-5=0的距離，由此利用勾股定理能求出|PQ|．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
∵直線L的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)得直線L的普通方程為：x-$\sqrt{3}y$-5=0．
（2）∵曲線C：（x-2）²+y²=4是以C（2，0）為圓心、以2為半徑的圓，
圓心C（2，0）到直線L：x-$\sqrt{3}y$-5=0的距離：
d=$\frac{|2-5|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{3}{2}$，
又曲線C與直線L相交于P，Q兩點(diǎn)，
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-ythxsex^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線L的普通方程的求法，考查弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、普通方程的互化．