Question

11．已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=30，8S₆=9S₃，設T_n=a₁a₂a₃…a_n，則使T_n取得最大值的n為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 設比數(shù)列{a_n}的公比為q，可知q≠1．由a₁=30，8S₆=9S₃，可得$\frac{8×30（{q}^{6}-1）}{q-1}$=$\frac{9×30（{q}^{3}-1）}{q-1}$．解得q．由T_n=a₁a₂a₃…a_n，可得$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=a_n=$30×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，對n分類討論，利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：設比數(shù)列{a_n}的公比為q，可知q≠1．
∵a₁=30，8S₆=9S₃，∴$\frac{8×30（{q}^{6}-1）}{q-1}$=$\frac{9×30（{q}^{3}-1）}{q-1}$．
化為8（q³+1）=9，
解得q=$\frac{1}{2}$．
∵T_n=a₁a₂a₃…a_n，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=a_n=$30×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
當n≤5時，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＞1，數(shù)列{T_n}單調(diào)遞增；當n≥6時，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＜1，數(shù)列{T_n}單調(diào)遞減．
∴當n=6時，T_n取得最大值．
故選：D．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．