Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），滿足4y₁y₂=x₁x₂，試證：kAB+kBC的值為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，-y₁），不妨設(shè)x₁＞0，x₂＞0．設(shè)k_AC=k＞0，將直線AC和直線BD方程代入橢圓方程，解得A，B的坐標，可得C的坐標，再由斜率公式，計算即可得證．

解答 證明：由題意可得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²-b²=c²，
橢圓過點（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，
解得a=2，b=1．
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，-y₁），
不妨設(shè)x₁＞0，x₂＞0．
設(shè)k_AC=k＞0，∵k_AC•k_BD=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴k_BD=$\frac{1}{4k}$．
可得直線AC、BD的方程分別為y=kx，y=$\frac{1}{4k}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4k}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，x₂=$\frac{4k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
即有y₁=$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，y₂=$\frac{1}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．
k_AB+k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{1-2k}{4k-2}$+$\frac{1+2k}{4k+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0，
則k_AB+k_BC的值為定值，且為0．

點評 熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程得到交點、運用直線的斜率公式是解題的關(guān)鍵．