Question

6．如圖所示的幾何體中，ABC-A₁B₁C₁為三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求證：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求三棱錐C₁-A₁CD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若AA₁=AC，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）建立坐標(biāo)系，根據(jù)二面角C-A₁D-C₁的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求出λ的值，根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 證明：（Ⅰ）若AA₁=AC，則四邊形ACC₁A₁為正方形，則AC₁⊥A₁C，
∵AD=2CD，∠ADC=60°，∴△ACD為直角三角形，則AC⊥CD，
∵AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC₁A₁，則CD⊥A₁C，
∵A₁C∩CD=C，∴AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，∵∠ADC=60°，∴AC=2$\sqrt{3}$，
則AA₁=λAC=2$\sqrt{3}$λ，建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD，CB，CC₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2$\sqrt{3}$，0），C₁（0，0，2$\sqrt{3}$λ），A₁（0，2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$λ），
則$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（2，-2$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$λ），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
設(shè)面CA₁D的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=2x-2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$λz=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CD}$=2x=0，
則x=0，y=-λz，令z=1，則y=-λ，則$\overrightarrow{m}$=（0，-λ，1）
設(shè)面A₁DC₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=2x-2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$λz=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=2$\sqrt{3}$y=0，
則y=0，2x-2$\sqrt{3}$λz=0，令z=1，則x=$\sqrt{3}$λ，
則$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$λ，0，1），
∵二面角C-A₁D-C₁的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{λ}^{2}•\sqrt{1+3{λ}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即（1+λ²）（1+3λ²）=8，
得λ=1，
即AA₁=AC，
則三棱錐C₁-A₁CD的體積V=V${\;}_{D-{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}CD•\frac{1}{2}AC•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面垂直的判斷以及三棱錐體積的計(jì)算，根據(jù)二面角的關(guān)系建立坐標(biāo)系求出λ的值是解決本題的關(guān)鍵．