Question

11．設(shè)S_n是正數(shù)組成的數(shù)列{a_n}的前n項和，且$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2（n∈N^*），又?jǐn)?shù)列{b_n}是a₁為首項，公比為a₂-a₁的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n+$\frac{24}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的最小項．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2（n∈N^*），可得$\frac{4{a}_{1}}{{a}_{1}}$=a₁+2，解得a₁．4S_n=${a}_{n}^{2}$+2a_n，當(dāng)n≥2時，4S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+2a_n-1，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，a_n＞0，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．又?jǐn)?shù)列{b_n}是a₁為首項，公比為a₂-a₁=2等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）c_n=a_n+$\frac{24}{_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$，c_n+1-c_n=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$＞0，可得n≥3時，c_n+1＞c_n．當(dāng)n≤2時，c_n+1＜c_n．則c₁＞c₂＞c₃＜c₄＜c₅＜…，即可得出．

解答 解：（1）由$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2（n∈N^*），∴$\frac{4{a}_{1}}{{a}_{1}}$=a₁+2，解得a₁=2.4S_n=${a}_{n}^{2}$+2a_n，
當(dāng)n≥2時，4S_n-1=${a}_{n-1}^{2}$+2a_n-1，∴4a_n=$（{a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}）$+（2a_n-2a_n-1），
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，a_n＞0，化為a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差為2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
又?jǐn)?shù)列{b_n}是a₁為首項，公比為a₂-a₁=2等比數(shù)列．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n+$\frac{24}{_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$，
c_n+1-c_n=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$＞0，可得2ⁿ＞6，即n≥3時，c_n+1＞c_n．
當(dāng)n≤2時，c_n+1＜c_n．則c₁＞c₂＞c₃＜c₄＜c₅＜…，
∴數(shù)列{c_n}的最小項為c₃=9．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．