Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\;{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），利用三角函數(shù)周期公式即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)f（x）遞增，由2k$π-\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵由已知$f（x）=\;{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}$=$\frac{1-cosx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$，（3分）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx=sin（x-$\frac{π}{6}$），（6分）
∴f（x）的最小正周期為2π．（7分）
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），當(dāng)2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)f（x）遞增，（10分）
即2k$π-\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z． 
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為：[2k$π-\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．