Question

3．在銳角三角形ABC中，下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． sinA＞sinB
• B． cosA＞cosB
• C． sinA＞cosB
• D． cosA＞sinB

Answer 1

分析 由三角形ABC為銳角三角形，得到C為銳角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得A+B＞$\frac{π}{2}$，移項(xiàng)得到A＞$\frac{π}{2}$-B，且A與$\frac{π}{2}$-B都為銳角，
A、根據(jù)正弦定理可得只有當(dāng)a＞b時(shí)，sinA＞sinB，而原題沒有此條件，故本選項(xiàng)不一定成立．
B、由余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；
C、由正弦函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，得到sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B），利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得sinA＞cosB，本選項(xiàng)正確；
D、由余弦函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞減，得到cosA＜cos（$\frac{π}{2}$-B），利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得cosA＜sinB，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

解答 解：銳角△ABC中，C為銳角，
∴A+B＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，
A、根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$得：當(dāng)a＞b時(shí)，sinA＞sinB，本選項(xiàng)不一定成立，
B、A，B為銳角，由A＜B可得cosA＞cosB，本選項(xiàng)不一定成立，
C、正弦函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，本選項(xiàng)正確；
D、余弦函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞減，cosA＜cos（$\frac{π}{2}$-B）=sinB，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題意得出A＞$\frac{π}{2}$-B解題的關(guān)鍵．