Question

5．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a_n+2=$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+2，}&{n=2k-1（k∈{N^*}）}\\{2{a_n}，}&{n=2k（k∈{N^*}）}\end{array}}$，則數(shù)列{a_n}前2n項(xiàng)和S_2n=2ⁿ+n²-1．

Answer 1

分析 由已知可得：n=2k-1時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=2，為等差數(shù)列；n=2k時(shí)，a_2k+2=2a_2k，為等比數(shù)列．分組求和即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=a₂=1，a_n+2=$\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}+2，}&{n=2k-1（k∈{N^*}）}\\{2{a_n}，}&{n=2k（k∈{N^*}）}\end{array}}$，
∴n=2k-1時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=2，為等差數(shù)列；
n=2k時(shí)，a_2k+2=2a_2k，為等比數(shù)列．
∴${S_{2n}}=（{1+3+5+…+2n-1}）+（{1+2+4+…+{2^{n-1}}}）={n^2}+{2^n}-1$．
故答案為：2ⁿ+n²-1．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、“分組求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．