Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且滿足a_n-a_n-1=n（n＞1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且滿足a_n-a_n-1=n，代入計(jì)算，可得a₂，a₃；利用疊加法，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)求和，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且滿足a_n-a_n-1=n，
∴a₂=3，a₃=5，
由a_n-a_n-1=n，
可知a₂-a₁=2，
a₃-a₂=3，
…
a_n-a_n-1=n；
當(dāng)n≥2時(shí)，將上面各等式相加，得a_n-a₁=2+…+n=

(n-1)(n+2)

2

∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

(n-1)(n+2)

2

+1=

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）b_n=

1

an

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n

2(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的基本知識(shí)，累和法求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤，屬于中檔題．