Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=15，$\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{n}=2$，則$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值為$\frac{27}{4}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到$\frac{{a}_{n}}{n}$關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性求得最小值．

解答 解：由$\frac{{{a_{n+1}}-{a_n}}}{n}=2$，得a_n+1-a_n=2n，
∵a₁=15，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=15+2+4+…+2（n-1）=15+2×$\frac{n（n-1）}{2}$=n²-n+15．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{15}{n}$-1，
令f（x）=x+$\frac{15}{x}-1$，得${f}^{′}（x）=1-\frac{15}{{x}^{2}}=\frac{{x}^{2}-15}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)n取1，2，3時(shí)，n+$\frac{15}{n}$-1減小，當(dāng)n取大于等于4的自然數(shù)時(shí)n+$\frac{15}{n}$-1的值增大．
∵n=3時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{n}$=3+5-1=7；n=4時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{n}$=4+$\frac{15}{4}$-1=$\frac{27}{4}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值為$\frac{27}{4}$．
故答案為：$\frac{27}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．