Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（1-x）f（x）
（1）求y=f（x）在點（1，0）處的切線方程；
（2）判斷h（x）=g′（x）及g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（3）證明：x＞e

2x-2

x2+1

在（1，+∞）上恒成立．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）切線斜率k=f'（1），由點斜式可得切線方程；
（2）由h′（x）的符號可判斷h（x）的單調(diào)性，由h（x）單調(diào)遞減可得g'（x）＞g'（1）=0，從而得g（x）的單調(diào)性；
（3）x＞e

2x-2

x2+1

即lnx＞

2x-2

x2+1

，也即證（x²+1）lnx-2x+2＞0在（1，+∞）上恒成立，設(shè)函數(shù)H（x）=（x²+1）lnx-2x+2，利用導(dǎo)數(shù)可證；

解答： 解：（1）f′(x)=(lnx)′=

1

x

，∴切線的斜率為k=f'（1）=1，

∴切線方程為y-0=x-1 即y=x-1

．
（2）g（x）=（1-x）f（x）=lnx-xlnx，
∴g′(x)=

1

x

-lnx-1，∴h′(x)=-

x+1

x2

＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g'（x）＞g'（1）=0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）x＞e

2x-2

x2+1

即lnx＞

2x-2

x2+1

，
∵x＞1，∴x²+1＞0，
∴只需證（x²+1）lnx＞2x-2，即（x²+1）lnx-2x+2＞0在（1，+∞）上恒成立，
設(shè)函數(shù)H（x）=（x²+1）lnx-2x+2，
則H′(x)=2xlnx+

(x-1)2

x

＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴H（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴H（x）＞H（1）=0，（x²+1）lnx-2x+2＞0即lnx＞

2x-2

x2+1

在（1，+∞）上恒成立．

點評：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立，考查學(xué)生的運算求解能力、推理論證能力．