Question

1．設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{0B}$=$\overrightarrow$，已知$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求∠AOB的大�。�

Answer 1

分析 由條件$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=4$，進(jìn)行數(shù)乘的運(yùn)算便可得到$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}=8$，從而可設(shè)$|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}cosθ，|\overrightarrow|=2\sqrt{2}sinθ$，這樣便可得出S_△AOB=2sin2θsin∠AOB，從而sin2θ=1時(shí)△AOB的面積最大，這樣由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$即可得到$cos∠AOB=\frac{1}{2}$，從而便可得出∠AOB的大�。�

解答 解：根據(jù)條件$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4+|\overrightarrow{|}^{2}=4$；
∴$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}=8$；
∴設(shè)$|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{2}cosθ，|\overrightarrow|=2\sqrt{2}sinθ$；
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|sin∠AOB$=2sin2θsin∠AOB；
∴sin2θ=1時(shí)，△AOB的面積最大；
∴此時(shí)，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos∠AOB=4sin2θcos∠AOB=4cos∠AOB=2$；
∴$cos∠AOB=\frac{1}{2}$；
∴$∠AOB=\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，cos²x+sin²x=1，圓的參數(shù)方程，三角形的面積公式：$S=\frac{1}{2}absinC$，以及正弦函數(shù)的最值．