Question

10．過橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦點F作斜率為k（k≠0）的直線交橢圓于A，B兩點，使得AB的中點M在直線x+2y=0上，則k的值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 由橢圓方程，a，b，c．直線AB方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點坐標公式即可求得k值，從而解決問題．

解答 解：由橢圓方程，a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，則點F為（-1，0）．
直線AB方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，得
（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），則
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，y₀=k（x₀+1）=$\frac{k}{2{k}^{2}+1}$，
由點M在直線x+2y=0上，知-2k²+2k=0，
∵k≠0，
∴k=1．
故選：A．

點評 本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)，直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，考查方程思想．屬于中檔題．