Question

5．（理）已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為p，公差為d（d＞0），對(duì)于不同的自然數(shù)n（n∈N^*），直線x=a_n與x軸和指數(shù)函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x的圖象分別交于點(diǎn)A_n與B_n（如圖所示），記B_n的坐標(biāo)為（a_n，b_n），直角梯形A₁A₂B₂B₁、A₂A₃B₃B₂的面積分別為s₁和s₂，一般地記直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的面積為s_n．
（1）求證：數(shù)列{s_n}是公比絕對(duì)值小于1的等比數(shù)列；
（2）設(shè){a_n}的公差d=1，是否存在這樣的正整數(shù)n，構(gòu)成以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)的三角形？并請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè){a_n}的公差d（d＞0）為已知常數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得（1）中無(wú)窮等比數(shù)列{s_n}各項(xiàng)的和S＞2010？并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）a_n=p+（n-1）d，直角梯形A_nA_n+1B_n+1B_n的兩底長(zhǎng)度AnBn=f（a_n），A_n+1B_n+1=f（a_n+1）．高為A_nA_n+1 =d，利用梯形面積公式表示出s_n．利用等比數(shù)列定義進(jìn)行證明即可；
（2）a_n=-1+（n-1）=n-2，b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-2，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，則b_n+2+b_n+1＞b_n考查不等式解的情況作解答；
（3）利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，將S＞2010化簡(jiǎn)為S=$\frac{d（1+{2}^z9locne）}{{2}^{p+1}（{2}^3xaele3-1）}$＞2010，則2^p＜$\frac{d（1+{2}^0wqkutb）}{2×2010（{2}^vjf9fmz-1）}$，探討p的存在性．

解答 解：（1）a_n=p+（n-1）d，b_n=（$\frac{1}{2}$）^p+（n-1）d，s_n=$\fracv3gica1{2}$[（$\frac{1}{2}$）^p+（n-1）d+（$\frac{1}{2}$）^p+nd]
=$\fracf1f9zuj{2}$•（$\frac{1}{2}$）^p•[（$\frac{1}{2}$）^（n-1）d+（$\frac{1}{2}$）^nd]，
對(duì)于任意自然數(shù)n，$\frac{{s}_{n+1}}{{s}_{n}}$=$\frac{（\frac{1}{2}）^{nd}+（\frac{1}{2}）^{（n+1）d}}{（\frac{1}{2}）^{（n-1）d}+（\frac{1}{2}）^{nd}}$=$\frac{1+（\frac{1}{2}）^jc2qbha}{1+{2}^0gp0gfa}$=（$\frac{1}{2}$）^d，
所以數(shù)列{s_n}是等比數(shù)列且公比q=（$\frac{1}{2}$）^d，
因?yàn)閐＞0，所以|q|＜1；
（2）a_n=-1+（n-1）=n-2，b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-2，
對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，b_n＞b_n+1＞b_n+2，
若以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，
則b_n+2+b_n+1＞b_n，即（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（$\frac{1}{2}$）^n-1＞（$\frac{1}{2}$）^n-2，
即有1+2＞4，這是不可能的．
所以對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，以b_n，b_n+1，b_n+2為邊長(zhǎng)不能構(gòu)成三角形；            
（3）由（1）知，0＜q＜1，s₁=$\frac{d（1+{2}^2psn9ei）}{{2}^{p+1}•{2}^1fqoitq}$，
所以S=$\frac{{s}_{1}}{1-q}$=$\frac{d（1+{2}^e9qxhq0）}{{2}^{p+1}（{2}^n02vbce-1）}$，
若S=$\frac{d（1+{2}^6mhzcvh）}{{2}^{p+1}（{2}^3l2syi0-1）}$＞2010，則2^p＜$\frac{d（1+{2}^rrw4o6n）}{2×2010（{2}^cz6n5wj-1）}$
兩邊取對(duì)數(shù)，知只要a₁=p取值為小于log₂$\frac{d（1+{2}^uhjoiez）}{2×2010（{2}^qpbhaua-1）}$的實(shí)數(shù)，
就有S＞2010．

點(diǎn)評(píng) 本題是函數(shù)與數(shù)列、不等式的結(jié)合．考查等比數(shù)列的判定，含參數(shù)不等式解的討論．考查分析解決問(wèn)題，計(jì)算，邏輯思維等能力．