Question

已知定義域為R的奇函數f（x）在[0，3]上單調遞增，且對于任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）f（3-y）+f（3-x）f（y）
（1）求f（0）和f（1）的值；
（2）求證：f（x）為周期函數；
（3）求滿足不等式f（4x+1）≥

1

2

的實數x的集合．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的周期性,函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用函數的奇函數直接求f（0），通過x=y=1賦值法，利用函數的單調性然后求解f（1）的值；
（2）說明函數f（x）的奇偶性，通過令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．推出函數的周期，
（3）根據函數在[-2，2]的圖象以及函數的周期性，即可求滿足f（4x+1）≥

1

2

的實數x的集合．

解答： 解：（1）證明：令x=y=0，得 f（0）=2f（0）f（1），所以f（0）=0或f（1）=

1

2

．（1分）
令x=0，y=1，得f（1）=[f（0）]²+[f（1）]²．
若f（1）=

1

2

，則f（0）=±

1

2

．
令x=y=

1

2

，得f（1）=2[f（

1

2

）]²．
即f（

1

2

）=±

1

2

，
因為f（x）在[0，1]上單調遞增，所以f（0）＜f（

1

2

）＜f（1），矛盾！
因此f（0）=0，f（1）=[f（1）]²，f（1）=1．
（2）令y=-x，得f（0）=f（x）f（x+1）+f（1-x）f（-x）．…①
令y=1，得f（x+1）=f（x）f（0）+f（1-x）f（1）=f（1-x）．…②
即對于任意的x∈R，恒有f（x-1）=-f（1-x），
可得f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=-f（4-x）=f（x-4），
即：函數f（x）的最小正周期為4．
（3）令x=y=

1

3

f（

2

3

）=2f（

1

3

）f（

2

3

），因為f（

2

3

）＞f（0）=0，所以f（

1

3

）=

1

2

．
由②得：f（

5

3

）=

1

2

．
根據函數在[-2，2]的圖象以及函數的周期性，
觀察得，若f（4x+1）≥

1

2

，
則 

1

3

+4k≤4x+1≤

5

3

+4k，k∈Z，
所以-

1

6

+k≤x≤

1

6

+k，k∈Z，
x∈{x|-

1

6

+k≤x≤

1

6

+k，k∈Z}．

點評：本題是綜合題，考查賦值法求函數值的應用，函數奇偶性的判斷與證明，函數圖象的應用，不等式的解法．運算能力，理解能力要求比較高．