Question

15．（1）由動(dòng)點(diǎn)P向圓x²+y²=1引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，∠APB=60°，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程
（2）已知圓x²+y²-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點(diǎn)，定點(diǎn)R（1，1），若PR⊥QR，求m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意有|PO|=$\frac{r}{sin30°}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組消y并整理可得關(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理可得x₁+x₂和x₁x₂的值，再由點(diǎn)P，Q在直線x+2y-6=0上，可得y₁y₂，y₁+y₂，而由PR⊥QR可得$\overrightarrow{PR}$•$\overrightarrow{QR}$=0，代入數(shù)據(jù)可得關(guān)于m的方程，解之可得．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意有|PO|=$\frac{r}{sin30°}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴x²+y²=4，即所求的軌跡方程為x²+y²=4．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立方程組，
消y并整理可得x²+$\frac{4}{5}$m-12=0，
由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=0，x₁x₂=$\frac{4}{5}$m-12，
又點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在直線x+2y-6=0上，
∴y₁y₂=9+$\frac{1}{4}$x₁x₂，y₁+y₂=6，
又∵R（1，1），∴$\overrightarrow{PR}$=（1-x₁，1-y₁），$\overrightarrow{QR}$=（1-x₂，1-y₂）
由PR⊥QR可得$\overrightarrow{PR}$•$\overrightarrow{QR}$=（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0，
代入數(shù)據(jù)可得$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{5}$m-12）+1=0，解得m=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及向量的數(shù)量積的應(yīng)用，屬中檔題．