Question

20．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均不為0，其前n項(xiàng)和為S_n，a_n²=S_2n-1．
（1）求a_n，S_n；
（2）設(shè)b_n=S_n-1，令T_n=$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$，求T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得a_n=2n-1，可得S_n；
（2）由（1）可得b_n=n²-1，可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），裂項(xiàng)相消可得．

解答 解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a_n²=S_2n-1=（2n-1）a_n，
∵等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均不為0，∴a_n=2n-1，
∴S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²；
（2）由（1）可得b_n=S_n-1=n²-1，
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{3{n}^{2}-n+2}{4{n}^{2}+4n}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及裂項(xiàng)相消法求和，屬中檔題．