Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x（1-x），若數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=$\frac{1}{{1-{a_n}}}$，則f（a₂₀₁₅）=（　　）

• A． 6
• B． -6
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 由已知求出函數(shù)在x＞0時(shí)的解析式，再由數(shù)列遞推式判斷數(shù)列周期性，求出a₂₀₁₅，代入函數(shù)解析式得答案．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1+x）]=x（1+x）．
由a₁=$\frac{1}{2}$，且a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，
得${a}_{2}=\frac{1}{1-{a}_{1}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$，
${a}_{3}=\frac{1}{1-{a}_{2}}=\frac{1}{1-2}=-1$，
${a}_{4}=\frac{1}{1-{a}_{3}}=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$．
…
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
則a₂₀₁₅=a_671×3+2=a₂=2．
∴f（a₂₀₁₅）=f（2）=2×（2+1）=6．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的周期性，訓(xùn)練了函數(shù)解析式的求法，是中檔題．