Question

9．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{x}$-lnx，g（x）=e^x-ex+1．
（Ⅰ）若a=2，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有一個(gè)解，求a的值；
（Ⅲ）若g（x）≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）代入a=2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念和點(diǎn)斜式求出切線方程即可；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)m（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最大值，把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題求解；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)的最大值為f（1）=a-1，要使恒成立，只需求出g（x）的最小值即可，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用極值得出函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵a=2，
∴f（1）=2-1=1，
f'（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴f'（1）=0，
∴切線方程為y=1；
（Ⅱ）令m（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，
∴m'（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
∴當(dāng)x在（0，1）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）遞增，
當(dāng)x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）第減，
故m（x）的最大值為m（1）=1，
f（x）=0恰有一個(gè)解，即y=a，與m（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴a=1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)的最大值為f（1）=a-1，
g（x）=e^x-ex+1．
g'（x）=e^x-e，
∴當(dāng)x在（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）遞減，
當(dāng)x在（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，g（x）遞增，
∴函數(shù)g（x）的最小值為g（1）=1，
g（x）≥f（x）恒成立，
∴1≥a-1，
∴a≤2．

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)的概念，恒成立問題的轉(zhuǎn)化，零點(diǎn)問題的轉(zhuǎn)化，常用方法的應(yīng)用．