Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，公差d＞0，且a₂a₃=40，a₁+a₄=13，公比為q（0＜q＜1）的等比數(shù)列{b_n}中，b₁、b₃、b₅∈{$\frac{1}{60}$，$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$}．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式a_n、b_n；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足c_2n-1=a_n，c_2n=b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₂a₃=40，a₁+a₄=13，d＞0．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=40}\\{2{a}_{1}+3d=13}\end{array}\right.$，解出即可．公比為q（0＜q＜1）的等比數(shù)列{b_n}中，b₁，b₃，b₅∈{$\frac{1}{60}$，$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$}．可得b₁=$\frac{1}{2}$，b₃=$\frac{1}{8}$，b₅=$\frac{1}{32}$．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解出即可．
（2）由c_2n-1=a_n=3n-1，c_2n=b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．對(duì)n分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（1）由a₂a₃=40，a₁+a₄=13，d＞0．
可得$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+2d）=40}\\{2{a}_{1}+3d=13}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
∵公比為q（0＜q＜1）的等比數(shù)列{b_n}中，b₁，b₃，b₅∈{$\frac{1}{60}$，$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$}．
∴b₁=$\frac{1}{2}$，b₃=$\frac{1}{8}$，b₅=$\frac{1}{32}$．
∴$\frac{1}{2}{q}^{2}$=$\frac{1}{8}$，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴b_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）∵c_2n-1=a_n=3n-1，c_2n=b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+5+…+（3k-1）]+$[\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{k}]$
=$\frac{k（2+3k-1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{k}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{n（3n+2）}{8}$+1-$（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}$．

當(dāng)n=2k-1時(shí)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=T_n-1+c_2k-1
=$\frac{（n-1）（3n-1）}{8}$+1-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+3k-1
=$\frac{（n-1）（3n-1）}{8}$-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{3（n+1）}{2}$．
綜上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（3n+2）}{8}+1-（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\\{\frac{（n-1）（3n-1）}{8}-（\frac{1}{2}）^{n-1}+\frac{3（n+1）}{2}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．