Question

8．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，BD∩AC=O，M是線段D₁O上的動點，過點M作平面ACD₁的垂線交平面A₁B₁C₁D₁于點N，則點N到點A距離的最小值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方體的結構特征，可證，N在B₁D₁上，過N作NG⊥A₁B₁，交A₁B₁于G，設NG=x，利用勾股定理構造關于x的函數(shù)，求函數(shù)的最小值．

解答 解：∵平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁，又MN⊥平面ACD₁，
∴MN?平面BDD₁B₁，∴N∈B₁D₁，
過N作NG⊥A₁B₁，交A₁B₁于G，將平面A₁B₁C₁D₁展開，如圖：
設NG=x，（0≤x≤1），
∴AN=$\sqrt{{1}^{2}+（1-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-2x+2}$=$\sqrt{2（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{2}}$≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
當x=$\frac{1}{2}$時，AN取最小值$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

點評 本題考查了正方體的結構性質，考查了函數(shù)思想的應用，構造函數(shù)模型，利用二次函數(shù)求最小值是解題的關鍵．