Question

16．已知點F₁（-1，0）、F₂（1，0）分別是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，一動圓在y軸右側(cè)與y軸相切，同時與圓（x-1）²+y²=1相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線C，曲線C與橢圓E在第一象限的交點為P，且|PF₂|=$\frac{5}{3}$．
（I）求曲線C與橢圓E的方程：
（Ⅱ）過點F₂的直線l與橢圓E交于M，N兩點．則△F₁MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在．求出這個最大值及此時直線l的方程：若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)動圓的方程為（x-m）²+（y-n）²=r²，m＞0，由題意可得m=r，再由兩圓外切的條件：圓心距即為兩圓的半徑之和，消去半徑r，可得曲線C的方程；運用拋物線的定義，求得P的坐標，代入橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，則△F₁MN的周長=4a=8，△F₁MN的內(nèi)切圓的面積為$\frac{1}{2}$（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，內(nèi)切圓的面積最大，R就最大．設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F₁MN的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動圓的方程為（x-m）²+（y-n）²=r²，m＞0，
由動圓在y軸右側(cè)與y軸相切，可得m=r，
又與圓（x-1）²+y²=1相外切，可得$\sqrt{（1-m）^{2}+{n}^{2}}$=1+r，
消去r，兩邊平方可得n²=4m，
可得曲線C的方程為拋物線y²=4x，
即有準線方程為x=-1，焦點為（1，0），即為F₂（1，0），
由|PF₂|=$\frac{5}{3}$，由拋物線的定義可得
x_P+1=$\frac{5}{3}$，解得x_P=$\frac{2}{3}$，y_P=±$\sqrt{\frac{8}{3}}$，
代入橢圓方程，可得$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{3^{2}}$=1，
又a²-b²=c²=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，
則△F₁MN的周長=4a=8，S${\;}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，
因此S${\;}_{△{F}_{1}MN}$最大，R就最大，
由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3m²+4）y²+6my-9=0，
得y₁=$\frac{-3m+6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，y₂=$\frac{-3m-6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
則S${\;}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|（y₁-y₂）=y₁-y₂=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，則t≥1，
則S${\;}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}$，
令f（t）=3t+$\frac{1}{t}$，則f′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$，
當t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
有f（t）≥f（1）=4，S${\;}_{△{F}_{1}MN}$≤3，
即當t=1，m=0時，S${\;}_{△{F}_{1}MN}$≤3，
S${\;}_{△{F}_{1}MN}$=4R，∴R_max=$\frac{3}{4}$，這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{9}{16}$π．
故直線l：x=1，△F₁MN內(nèi)切圓面積的最大值為$\frac{9}{16}$π．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分析得出S${\;}_{△{F}_{1}MN}$最大，R就最大是關(guān)鍵．