Question

6．有一解三角形的題目因紙張破損，有一條件不清，具體如下：在△ABC中，已知a=$\sqrt{3}$，2cos²$\frac{A+C}{2}$=（$\sqrt{2}$-1）cosB，c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，求角A，若該題的答案是A=60°，請將條件補充完整．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得B，再利用兩角和的正弦公式求得sin75°的值，再利用正弦定理求得c的值．

解答 解：在△ABC中，∵已知a=$\sqrt{3}$，2cos²$\frac{A+C}{2}$=（$\sqrt{2}$-1）cosB，
∴1+cos（A+C）=（$\sqrt{2}$-1）cosB，
即 1-cosB=（$\sqrt{2}$-1）cosB，∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴B=$\frac{π}{4}$．
若A=60°，則C=180°-A-B=75°，sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
則由正弦定理可得$\frac{c}{sin75°}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$，求得c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式，兩角和的正弦公式，正弦定理，屬于基礎(chǔ)題．