在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(-2,0)、A2(2,0),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0,m)、N2(0,n),且mn=3.

(1)求直線A1N1A2N2交點(diǎn)的軌跡M的方程;

(2)已知F2(1,0),設(shè)直線lykxm與(1)中的軌跡M交于P、Q兩點(diǎn),直線F2P、F2Q的傾斜角為α、β,且αβπ,求證:直線l過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).


解:(1)依題意知直線A1N1的方程為:y(x+2),①

直線A2N2的方程為:y=-(x-2),②

設(shè)Q(xy)是直線A1N1A2N2的交點(diǎn),①×②得y2=-(x2-4),

mn=3,整理得=1.

N1N2不與原點(diǎn)重合,∴點(diǎn)A1(-2,0)、A2(2,0)不在軌跡M上,

∴軌跡M的方程為=1(x≠±2).

(2)由題意知,直線l的斜率存在且不為零,

聯(lián)立方程得,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,設(shè)P(x1,y1)、Q(x2y2),則

由已知αβπ,得kF2PkF2Q=0,∴=0,

化簡(jiǎn),得2kx1x2+(mk)(x1x2)-2m=0,

代入,得-2m=0,

整理得m=-4k.

∴直線l的方程為yk(x-4),因此直線l過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).


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已知圓Cx2y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦為AB,以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn),若存在,寫出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于AB兩點(diǎn),若|AB|=,|AF|<|BF|,則|AF|=________.

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直線ykx+2與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則k的值為(  )

A.1  B.1或3  C.0  D.1或0

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已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F(0,-1),直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的中點(diǎn)為(2,-2),則直線l的方程為________.

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若等比數(shù)列{an}滿足a2a4=,則a1a5=    . 

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某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于    . 

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已知等比數(shù)列{an}滿足an>0(n∈N*),且a5a2n-5=22n(n≥3),則當(dāng)n≥1時(shí),log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n-1等于(  )

(A)(n+1)2   (B)n2

(C)n(2n-1)  (D)(n-1)2

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若函數(shù)f(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,+∞),則a=    . 

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