Question

8．若函數(shù)f（x）=2e^xln（x+m）+e^x-2存在正的零點，則實數(shù)m的取值范圍（　�。�

• A． （-∞，$\sqrt{e}$）
• B． （$\sqrt{e}$，+∞）
• C． （-∞，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=ln（x+m），h（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{2}$，利用函數(shù)f（x）=2e^xln（x+m）+e^x-2存在正的零點，可得g（0）＜h（0），結(jié)合m≤0時，顯然成立，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由f（x）=2e^xln（x+m）+e^x-2=0，可得ln（x+m）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{2}$，
令g（x）=ln（x+m），h（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{2}$，則
∵函數(shù)f（x）=2e^xln（x+m）+e^x-2存在正的零點，
∴g（0）＜h（0），
∴l(xiāng)nm＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜m＜$\sqrt{e}$，
m≤0時，顯然成立，
∴m＜$\sqrt{e}$，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．