Question

3．若數(shù)列{a_n}滿足a₂-a₁＜a₃-a₂＜a₄-a₃＜…a_n+1-a_n＜…，則稱數(shù)列{a_n}為“上進數(shù)列”，若數(shù)列{a_n}是上進數(shù)列，且其通項a_n=λ•2ⁿ-n²（n∈N^*，λ≠0），則λ的取值范圍是（1，+∞）．

Answer 1

分析 a_n=λ•2ⁿ-n²（n∈N^*，λ≠0），可得n≥2時，a_n-a_n-1=λ•2^n-1-2n+1，a_n+1-a_n=λ•2ⁿ-2n-1，利用（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）＞0恒成立即可得出．

解答 解：∵a_n=λ•2ⁿ-n²（n∈N^*，λ≠0），
∴n≥2時，a_n-a_n-1=λ•2ⁿ-n²-[λ•2^n-1-（n-1）²]=λ•2^n-1-2n+1，a_n+1-a_n=λ•2ⁿ-2n-1，
可得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=λ•2ⁿ-2n-1-（λ•2^n-1-2n+1）=λ•2^n-1-2＞0，
∴λ＞2^2-n（n≥2）恒成立，可得λ＞1．
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題考查了遞推關系、數(shù)列的單調性、新定義“上進數(shù)列”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．