Question

6．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，且函數(shù)f（x+$\frac{π}{12}$）是偶函數(shù)，下列判斷正確的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{7π}{12}$，0）d對(duì)稱(chēng)
• C． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{7π}{12}$對(duì)稱(chēng)
• D． 函數(shù)f（x）在[$\frac{3π}{4}$，π]上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 由題意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函數(shù)f（x+$\frac{π}{12}$）是偶函數(shù)，可得$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得φ，可得解析式f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的周期T=π，故A錯(cuò)誤；
∵ω＞0
∴ω=2，
∴函數(shù)f（x+$\frac{π}{12}$）的解析式為：f（x）=sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{6}$+φ），
∵函數(shù)f（x+$\frac{π}{12}$）是偶函數(shù)，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，解得對(duì)稱(chēng)中心為：（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z，故B錯(cuò)誤；
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得對(duì)稱(chēng)軸是：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z，故C錯(cuò)誤；
由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ$-\frac{5π}{12}$，kπ$+\frac{π}{12}$]，k∈Z，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題．