Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-ax²+2bx+1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2}{3}$對稱，且當(dāng)x∈[1，π]時，恒有f（x）≥1，則實數(shù)b的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． [$\frac{1}{2}$，1]
• C． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)f′（x）的圖象判斷f（x）在[1，π]上的單調(diào)性，列出不等式解出．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+2b，∵函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{2}{3}$對稱，∴$\frac{2a}{6}$=$\frac{2}{3}$，即a=2．
∴f（x）=x³-2x²+2bx+1，f′（x）=3x²-4x+2b，△=16-24b，
（1）若△=16-24b≤0，即b$≥\frac{2}{3}$時，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，π]上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（1）=2b≥1，解得b≥$\frac{1}{2}$，∴b≥$\frac{2}{3}$．排除B，C．
（2）若△=16-24b＞0，即b＜$\frac{2}{3}$時，令f′（x）=0，解得x=$\frac{2±\sqrt{4-6b}}{3}$．
①若1≥$\frac{2+\sqrt{4-6b}}{3}$，即$\frac{1}{2}≤$b＜$\frac{2}{3}$時，f′（x）在[1，π]上恒大于或等于0，∴f（x）在[1，π]上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（1）=2b≥1，解得b≥$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤b＜$\frac{2}{3}$．排除A．
故選：D．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．