Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|+|x-2a|-3|a|）．若集合{x|f（x-1）-f（x）＞0，x∈R}=∅，則實數(shù)a的取值范圍為$（-∞，\frac{1}{6}]$．

Answer 1

分析 把x≥0時的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時的函數(shù)的最大值，條件等價為對?x∈R，都有f（x-1）≤f（x），進行轉(zhuǎn)化求解即可求解該不等式得答案．

解答 解：若{x|f（x-1）-f（x）＞0，x∈R}=∅，
則等價為f（x-1）-f（x）≤0恒成立，即f（x-1）≤f（x）恒成立，
當x≥0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-a|+|x-2a|-3|a|）．
若a≤0，則當x≥0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（x-a+x-2a+3a）=x，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=-x=-f（x），
則f（x）=x，x＜0，
綜上f（x）=x，此時函數(shù)為增函數(shù)，則f（x-1）≤f（x）恒成立，
若a＞0，
若0≤x≤a時，f（x）=$\frac{1}{2}$[-x+a-（x-2a）-3a]=-x；
當a＜x≤2a時，f（x）=$\frac{1}{2}$[x-a-（x-2a）-3a]=-a；
當x＞2a時，f（x）=$\frac{1}{2}$（x-a+x-2a-3a）=x-3a．
即當x≥0時，函數(shù)的最小值為-a，
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
當x＜0時，f（x）的最大值為a，
作出函數(shù)的圖象如圖：
由于?x∈R，f（x-1）≤f（x），
故函數(shù)f（x-1）的圖象不能在函數(shù)f（x）的圖象的上方，
結(jié)合圖可得1-3a≥3a，即6a≤1，求得0＜a≤$\frac{1}{6}$，
綜上a≤$\frac{1}{6}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{6}$]

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的圖象特征，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，將條件轉(zhuǎn)化不等式恒成立是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．