Question

7．一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖，如圖．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的平均值；
（Ⅲ）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在（5，15]內(nèi)的小球個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率和為1，求解得a=0.03；
（Ⅱ）由最高矩形中點的橫坐標為20，可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為20，根據(jù)平均數(shù)值公式求解即可．
（Ⅲ）ξ～B（3，0.2），根據(jù)二項分布求解概率列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望及方差即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
（Ⅱ）由最高矩形中點的橫坐標為20，
可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為20，
而50個樣本小球重量的平均值為：0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）
故估計盒子中小球重量的平均值約為24.6克．
（Ⅲ）利用樣本估計總體，該盒子中小球的重量在[5，15]內(nèi)的頻率為0.2；
則ξ～B（3，0.2），
ξ=0，1，2，3；
P（ξ=0）=C₃⁰×0．8³=$\frac{64}{125}$；
P（ξ=1）=C₃¹×0.8²×0.2=$\frac{48}{125}$；
P（ξ=2）=C₃²×0.8×0.2²=$\frac{12}{125}$；
P（ξ=3）=C₃³×0.2³=$\frac{1}{125}$，
∴ξ的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

Eξ=3×0.2=0.6，Dξ=3×0.2×0.8=0.48．

點評 本題考查了離散型的隨機變量及概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，注意閱讀題意，得出隨機變量的數(shù)值，準確求解概率，難度不大，需要很好的計算能力