Question

8．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，則（　�。�

• A． 數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減
• B． 數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增
• C． 數(shù)列{a_n}先遞減后遞增
• D． 數(shù)列{a_n}先遞增后遞減

Answer 1

分析 由a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，得${a}_{2}=\sqrt{5}$，${a}_{3}=\sqrt{\sqrt{5}+2}$，且可知a_n＞0．再由a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，兩邊平方得${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$，進(jìn)一步得到${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}+2$，兩式作差可得a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號(hào)．由a₂-a₁＜0，可知，a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，由此可得答案．

解答 解：由a₁=3，a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，得${a}_{2}=\sqrt{5}$，${a}_{3}=\sqrt{\sqrt{5}+2}$，且可知a_n＞0．
再由a_n=$\sqrt{{a}_{n-1}+2}$，兩邊平方得${{a}_{n}}^{2}={a}_{n-1}+2$  ①，
則${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}+2$  ②，
②-①得：${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}={a}_{n}-{a}_{n-1}$，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號(hào)．
由a₂-a₁＜0，可知，a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，
可知數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列單調(diào)性的確定，考查邏輯推理能力，是中檔題．