Question

18．如圖，在三棱錐P-ABC中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∠PCA=90°，E，F(xiàn)分別為AP，AC的中點(diǎn)，且PA=4，$BE=\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角A-BP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）充分利用三角形中的性質(zhì)關(guān)系得出直角．（2）合理建系求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）∵PA=4，AC=2，∠PCA=90°
∴∠PAC=60°．
又∵AE=AC=2，∴△AEC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．
∵F為AC的中點(diǎn)，∴AC⊥EF…（2分）
又△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，
∴AC⊥BF…（4分）
又∵EF∩BF=F，∴AC⊥平面BEF…（6分）
（Ⅱ）如圖，取AB中點(diǎn)F，BF中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EF，EG．
由（Ⅰ）可知$EF=BF=\sqrt{3}$，$BE=\sqrt{3}$，
所以EG⊥BF，
所以EG⊥平面ABC．
如圖建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，則.$B（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0，0）$，$E（0，0，\frac{3}{2}）$，$A（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-1，0）$，$C（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1，0）$，$P（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1，3）$…（8分）
所以$\overrightarrow{BP}=（0，1，3）$，$\overrightarrow{BA}=（-\sqrt{3}，-1，0）$，
所以平面ABP的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，-3，1）$…（11分）
所以$\overrightarrow{BP}=（0，1，3）$，$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
所以平面CBP的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（\sqrt{3}，-3，-1）$…（13分）
所以平面ABP$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=-\frac{7}{13}$…（15分）
即平面ABP與平面CBP所成角的余弦值為$\frac{7}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明和二面角余弦值的求法，屬中檔題．屬于高考常考題型．