Question

12．已知函數(shù)f（x）的定義域為R滿足f（-x）=f（x），且圖象關(guān)于直線x=2對稱，若0≤x≤2時，f（x）=$\frac{2x}{4{x}^{2}+1}$．
（1）求證：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）求使f（x）=$\frac{1}{2}$在[0，2016]上的所有x的個數(shù)，并求在[0，40]上的所有x值的和．

Answer 1

分析 （1）由對稱性可知f（2-x）=f（2+x），由奇偶性可知f（2-x）=f（x-2），故而f（x-2）=f（x+2），于是f（x）=f（x+4）；
（2）求出f（x）=$\frac{1}{2}$在[0，2]上的解的個數(shù)，利用周期得出[0，2016]上的解的個數(shù)，利用對稱性得出[0，40]上所有解的和．

解答 解：（1）∵f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，
∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
∴f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
∴f（x-2）=f（x+2），
∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)．
（2）令$\frac{2x}{4{x}^{2}+1}=\frac{1}{2}$，即4x²+1-4x=0，解的x=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$在[0，2]上有一解，
∵f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$在[2，4]上有一解，
∴f（x）在[0，4]上有兩解，
∵f（x）的周期為4，
∴f（x）在[0，2016]上有$\frac{2016}{4}×2$=1008個解．
f（x）在[0，40]上有$\frac{40}{4}×2$=20個解．
∵f（x）圖象關(guān)于x=2對稱，周期為4，
∴f（x）在[0，40]上共有10條對稱軸，對稱軸方程為x_k=4k-2，（k=1，2，3，…10）．
∴f（x）在[0，40]上的所有x值的和為2（x₁+x₂+x₃+…+x₁₀）=2×$\frac{2+38}{2}×10$=400．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，利用函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．