Question

2．用長為8cm，寬為5cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻折90°角，再焊接而成一個長方體容器，問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

分析 首先分析題目求長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器當(dāng)容器的高為多少時，容器的容積最大．故可設(shè)容器的高為x，體積為V，求出v關(guān)于x的方程，然后求出導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性即可求得最值．

解答 解：根據(jù)題意可設(shè)容器的高為x，容器的體積為V，
則有V=（8-2x）（5-2x）x=4x³-26x²+40x，（0＜x＜2.5）
求導(dǎo)可得到：V′=12x²-52x+40
由V′=12x²-52x+40=0得x₁=1，x₂=$\frac{10}{3}$．
所以當(dāng)x＜1時，V′＞0，當(dāng)1＜x＜2.5時，V′＜0，
所以，當(dāng)x=1，V有極大值，即最大值V（1）=18cm³，
所以高為1cm，體積最大值18cm³．

點評 此題主要考查函數(shù)求最值在實際問題中的應(yīng)用，其中涉及到由導(dǎo)函數(shù)分類討論單調(diào)性的思想，在高考中屬于重點考點，同學(xué)們需要理解并記憶．