Question

12．拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（-$\frac{1}{2}$，0），且已知點(diǎn)M（-2，2）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線l交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，且∠PMQ=90°，問直線l是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線的方程為y²=-2px（p＞0），利用焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（-$\frac{1}{2}$，0），求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)l：ay=x+b代入y²=-2x，可得y²+2ay-2b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合∠PMQ=90°，PM⊥QM，可得b=4-2a，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程為y²=-2px（p＞0），則
∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（-$\frac{1}{2}$，0），
∴$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴p=1，
∴拋物線C的方程為y²=-2x；
（Ⅱ）設(shè)l：ay=x+b，設(shè)P（-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$，y₁），Q（-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$，y₂），
ay=x+b，代入y²=-2x，可得y²+2ay-2b=0，
∴y₁+y₂=-2a，y₁y₂=-2b，
∵∠PMQ=90°，∴PM⊥QM，
∴（y₁+2）（y₂+2）=-4
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+4═-4
∴b=4-2a，
∴ay=x+4-2a，∴過定點(diǎn)（-4，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．